بحث عن نظرية ذات الحدين

[ad_1]

‘)؛}

تقديم نظرية ذات الحدين

نظرية ذات الحدين مفـ يدة بشكل أساسي فـ ي إيجاد القيم الموسعة للتعبيرات الجبرية لـ (x + y) ^ n لأنه مـ ن السهل العثور عـلـى (x + y) 2 و (x + y) 3 و (a + b + c) 2 التي يمكن الحصول عليها بضرب الرقم فـ ي قيمة الأس ،[١] بالتعبير ذي الحدين ، فإننا نعني أنه تعبير جبري يحتوي فقط عـلـى مصطلحين متميزين ، عـلـى سبيل المثال: (أ + ب) ، (أ + ب) 3.[٢]

مـ ن الجدير بالذكر أنه كما هو الحال مع الطريقة السابقة ، مـ ن الصعب إيجاد صيغ موسعة للتعبيرات ذات قيم الأس العالية ، لأنها ستكون مملة وتستغرق وقتًا طويلاً ، ولكن يمكننا استخدام نظرية ذات الحدين ،[١] هذا يسمح لنا بإيجاد (x + y) n دون ضرب ذات الحدين نفسها n مرة.[٣]

مبدأ نظرية ذات الحدين

تم اقتراح نظرية ذات الحدين لأول مرة فـ ي القرن الرابع قبل الميلاد مـ ن قبل عالم رياضيات يوناني مشهور يُدعى إقليدس. مجموع المصطلحات أس المتغيرين (x) و (y). يرتبط كل مصطلح فـ ي التوسع ذي الحدين بقيمة عددية تسمى المعامل .[١]

‘) ؛ {تشتمل نظرية ذات الحدين عـلـى مصطلحين مهمين: المعامل ذي الحدين والتوسع ذي الحدين ، كما هو موضح أدناه:

معامل ذو الحدين

نحتاج إلى استخدام مجموعات لإيجاد المعاملات التي ستظهر فـ ي توسيع التعبير ذي الحدين ، أي عندما نجد (x + y) n ، فـ ي هذه الحالة سنستخدم الترميز C (n ، r) حيث الرمز C ( ن ، ص) يسمى المعامل ذي الحدين ويتم التعبير عنه عـلـى النحو التالي:[٢]
C (n، r) = n! / (r! (n – r)!) حيث:

n ، r: أعداد صحيحة أكبر مـ ن أو تساوي 0 و n≥r ، والمعاملات ذات الحدين هي أعداد صحيحة.

توسيع ذو الحدين

التوسع فـ ي ذات الحدين هو نتيجة مضاعفة فك الصيغة (س + ص) ن ، التي تحتوي عـلـى معاملات ذات الحدين. إذا أردنا فك (x + y) 52 ؛ يمكننا ضرب (x + y) فـ ي نفسه 52 مرة ، وهو ما قد يستغرق وقتًا طويلاً ، لذلك إذا درسنا بعض التوسع البسيط ذي الحدين ، فـ يمكننا إيجاد واشتقاق الأنماط التي ستقود نحن لاختصارات التوسعات ذات الحدين الأكثر تعقيدًا ، وإليك تفسيرها:[٢]
(x + y) n = ∑ C (n، k) (x (nk)) (yk) = xn + C (n، 1) (x (n – 1)) y + C (n، 2) (x (n – 2)) (y2) + … + C (n، n-1) x (y (n – 1)) + yn تتضمـ ن نظرية ذات الحدين مجموعة مـ ن النتائج المذكورة أدناه:[٢]

(x + y) ^ n له حدود n + 1.
عدد أو مجموع الأس لكل مصطلح هو n.
تبدأ القوة المؤثرة عـلـى x عند n وتقل إلى 0.
القوى عـلـى y تبدأ مـ ن 0 وتزيد إلى n.
تعامل المعاملات بنفس الطريقة.

مثال عـلـى نظرية ذات الحدين

يمكن العثور أدناه عـلـى أمـــثلة توضيحية للمعاملات ذات الحدين والتوسعات ذات الحدين: مثال 1: أوجد المعاملات ذات الحدين لـ C (5،3). المحلول:

C (n ، r) = n! / (r! (n – r)!)
ج (5،3) = 5! / (3! (5 – 3)!)
(5 × 4 × 3!) / (3! × 2!)
5 × 4/2!
10

مثال 2: أوجد المعاملات ذات الحدين لـ C (9،2). المحلول:

C (n ، r) = n! / (r! (n – r)!)
ج (9،2) = 9! / (2! (9-2)!)
(9 × 8 × 7!) / (2! × 7!)
9×8 / 2!
36

مثال 3: أوجد المعاملات ذات الحدين لـ C (9،7). المحلول:

C (n ، r) = n! / (r! (n – r)!)
ج (9،7) = 9! / (7! (9-7!)
(9 × 8 × 7!) / (7! × 2!)
9×8 / 2!
36

مثال 4: عرّف التوسع كـ (x + y) ^ 5. المحلول:

لاحظ أن n = 5 ، لذلك سيكون هناك 5 + 1 = 6 حدود ، كل مـ نها بدرجة إجمالية قدرها 5 ، مرتبة حسب قوى x التنازلية
أدخل x5 ، ثم قلل الأس عـلـى x بمقدار 1 لكل حد تالي حتى x0 = 1
أدخل y0 = 1 ، ثم ارفع y إلى القوة بمقدار 1 حتى تصل إلى y5.
بعد إدخال x و y ، يصبح:
س ^ 5 ، س ^ 4 ص ، س ^ 3 ص ^ 2 ، س 2 ص ^ 3 ، س ص 4 ، ص 5
التمديد عـلـى النحو التالي:
(س + ص) 5 = س 5 + 5 (س 4) ص + 10 (س 3) (ص 2) + 10 (س 2) (ص 3) + 5 س (ص 4) + ص 5